Espacios vectoriales

¿Qué es un espacio vectorial?

Es una estructura matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple unas propiedades específicas. Esta estructura surge mediante una operación de suma interna al conjunto y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo.

Todo espacio vectorial dispone de una base y que todas las bases de un espacio vectorial (puede haber más de una), a su vez, presentan la misma cardinalidad.

Axiomas de comprobación, ¿Es un espacio vectorial o no?

Todos los espacios vectoriales deben cumplir con las siguientes propiedades:

 Sea u+v a la suma de vectores en V, y αv al producto de un número real α por un vector v∈V

1. u+v∈V
2. u+v=v+u
3. (u+v)+w=u+(v+w)
4. Existe un vector nulo 0_V ∈V tal que v+0_V=v
5. Para cada v en V, existe un opuesto (–v)∈V tal que v+(–v)=0V
6. αv∈V
7. α(u+v)=αu+αv
8. (α+β)v=αv+βv
9. (βv)=(αβ)v
10. 1v=v

A partir de estos axiomas se pueden demostrar las siguientes propiedades:

 

¿Qué es un subespacio vectorial?

Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V.

W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V.

Propiedades para probar si un subconjunto de un espacio es Espacio vectorial o subespacio

Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V (W⊆V).

W es subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

1. 0_V está en W.
2. Si u y v están en W, entonces u+v está en W.
3. Si u está en W y k es un escalar, ku está en W.

Observaciones

La condición (a) asegura que W no es vacío. La mejor manera de comprobar si W es un subespacio es buscar primero si contiene al vector nulo. Si 0_V está en W, entonces deben verificarse las propiedades (b) y (c). Si 0_V

no está en W, W no puede ser un subespacio y no hace falta verificar las otras propiedades.

Las propiedades a, b y c corresponden a los axiomas 4, 1 y 6 de espacios vectoriales.

 Los axiomas 2, 3, 7, 8, 9 y 10 de espacio vectorial se cumplen para W porque éste es un subconjunto de V. Puede decirse que W "hereda" esas propiedades de V.

Subespacios triviales

Si V es un espacio vectorial, entonces V es un subespacio de sí mismo.

Dimensión y Rango de un subespacio

La dimensión de un subespacio W diferente de cero, denotada mediante dim W, es el número de vectores

que hay en cualquier base de H. La dimensión del subespacio cero {0} es, por definición, cero.

Cibergrafía

1. https://definicion.de/espacio-vectorial/
2. https://aga.frba.utn.edu.ar/espacios-y-subespacios-vectoriales/