Matrices especiales

 Elementos de una matriz

Una matriz es una tabla rectangular de datos ordenados en filas y columnas. Si una matriz tiene m filas y n columnas, se dice que es una matriz de orden mxn.

Los elementos de una matriz se denotan con subíndices  ai.j , el valor de i representa la fila y j la columna.

Los valores de i van desde 1 hasta m, y los de j desde 1 hasta n.

EJEMPLO

 El valor a1,3 = 11, esto porque 11 es elemento ubicado en la fila 1 y en la tercera columna.

 El valor a_1,3 = 11, esto porque 11 es elemento ubicado en la fila 1 y en la tercera columna.

El valor a_4,5 = 0, es decir el elemento de la fila 4 en la columna 5

Tipos de matrices

Existen varios tipos de matrices de acuerdo a su forma y contenido

Identidad

Es una matriz cuya diagonal principal está formada por 1 y el resto de la matriz por 0.

Transpuesta

Es la matriz que se obtiene al cambiar las filas por las columnas. La notación de la matriz transpuesta de A es:

Una de las utilidades de la transposición de matrices es poder calcular la matriz inversa por determinantes.

Antisimétrica

Resulta sí, al transponer una matriz, obtenemos los mismos elementos, pero con signo contrario.

EJEMPLO

Simétrica

Es una matriz cuadrada cuya transpuesta es igual a la propia Matriz.

Para identificar una matriz simétrica se debe cumplir que:

El elemento de la fila i y la columna j, es idéntico al elemento de la fila j columna i.

Otras matrices

1. Triangular superior: abajo de su diagonal principal está llena de 0.

2. Triangular inferior: arriba de su diagonal principal está llena de 0.

3. Matriz nula: matriz en donde todos sus elementos son 0

4. Matriz diagonal: matriz que tiene todos los elementos en 0, excepto en su diagonal principal.

Suma de matrices

La suma de matrices tiene algunas propiedades:

1. Conmutativa: A + B = B + A

2. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

3. Distributiva: k(A + B) = kA+ kB

4. Modulativa: A + 0 = A

Algoritmo

Para matrices del mismo orden.

A + B = C

La suma de 2 matrices de orden mxn, resulta en otra matriz de orden mxn.

Producto de matrices

Para calcular la multiplicación de matrices se deben multiplicar las filas de la izquierda por las columnas de la derecha de la matriz, y sumar el resultado.

Para multiplicar 2 matrices se debe cumplir siempre que, el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz, es decir:

Dadas dos matrices A_ij y B_ij , puedo multiplicar AxB si y sólo sí, j de es igual i de B.

Rango de una matriz:  

Es el número de filas y columnas que son linealmente independientes, lo cual quiere decir que ninguna de ellas puede expresarse en combinación lineal de las demás

Filas dependientes: cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

Si se calcula el rango por filas o columnas, resultará lo mismo.

Determinante de una matriz

El determinante de una matriz de dimensión mxn es el resultado de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal con la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria.

Caso 3x3

En este caso podemos aplicar la regla de Sarrus

Caso General

El objetivo es conseguir 3 ceros y 1 uno

Recomendaciones:

1. iniciar con las operaciones en las filas o columnas que tengan más ceros. ¿Por qué?, porque esto simplificará el desarrollo. A esta recomendación se puede sumar que, tendrán mayor prioridad aquellas filas o columnas que contengan más ceros y a la vez contenga unos.

2. Si no tengo filas o columnas

3. Si voy a reducir columnas, multiplico las filas y viceversa.